県トレ・特色検査 問題編
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練 習 問 題 2
２ 数学を中心とした教科横断型問題
問１
直径 8m の小型気球を製作する。材質は耐熱性のある素材で、気球は完全な球とみなす。気球とロープの重さの合計を 20kg、この気 球に搭乗する A くんの体重を 35kg、気温を 10 度とし、気球内の温度は均一であると仮定する。次のうち、この気球が上昇する温度は どれか、下の表も参考にして、可能性のあるものをすべて選びなさい。ただし、気体の重さは体積×気体の密度で、円周率は 3.14 で計 算するものとする。
ア 50 度 イ 60 度 ウ 70 度 エ 80 度 〔 〕
問２
右の表は、2011 年に行われた神奈川県議会の選挙における、各市の選出議員定数と、 有権者数および、議員 1 人あたりの有権者数を表す（単位は人：表中のＡ∼Ｇは、各自 計算して求めてよい）。表を参考にして、県議会議員選挙における「１票の重み」につい て、あとの問いに答えなさい。
(1) 有権者１名の「１票の重み」が最大である市はどこか、答えなさい。
〔 〕
(2) (1) の解答にあたる市と、「１票の重み」が最も軽い市の間では、およそ何倍の「1 票の格差」が発生しているか、計算して求めなさい。なお、解答は四捨五入して、 小数点以下第１位までで書きなさい。
〔 〕
(3) このような格差を是正するための方法を考え、かんたんに説明しなさい。
[ ]
問３
次に示す先生と生徒の会話を読んで、あとの問いに答えなさい。
先生：論理的に考える方法として、普遍的な真理から結論を導いていく方法がある。「演繹法」というんだ。しかし、普遍的な真理から 結論を導くには注意しなければならない点があるんだ。次の等式の変形を見てごらん。
x，y を正の数とし、x と y の間には y = x …① という関係が成り立つとする。 ①の両辺に− 2y を掛けると − 2y2＝− 2xy …②
②の両辺に x2+y2を加えると x2− y2＝ x2− 2xy+y2 …③ ③の両辺を因数分解すると (x+ y)( x − y) ＝ ( x − y)2 …④ ④の両辺を x − y で割ると x+ y ＝ x − y …⑤
⑤の両辺から x を引くと y= − y …⑥
生徒：論理的に組み立てられているように見えるけれど、どこかおかしい気がします…。あ、わかった。y= − y より、ｙ＝ 〔 イ 〕 となり、ｙ は〔 ウ 〕であることと矛盾していますね。
先生：このように正しいことと正しいことを間違った手続きで組み合わせると、おかしなことになる。注意が必要ということだ。 (1) 会話文中の空欄部〔 イ 〕〔 ウ 〕に当てはまる適切な数字またはことばを、それぞれ書きなさい。
〔イ / ウ 〕 (2) この会話で見つかった「矛盾」が生じた理由を、等式①∼⑥の中から必要なものを用いて述べなさい。
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県トレ・特色検査 問題編
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練 習 問 題 ２
５ 論理を中心とした問題・パズル的な問題
問 1
次の英文の中から、「五十歩百歩」という語の意味を表しているものを選んで、記号で答えなさい。
ア John says " My idea is good". Tom says, "John's idea is not good, but my idea is good." Some people think that both of them are little different.
イ My son looked shy, so I thought that he had no friends to play with. But it was wrong. I knew that he had many friends to play with.
ウ Betty wrote a report. But her teacher told her that it was not good. So she thought it again and again and finished writing it.
エ We got to the stadium to watch baseball game.
When we sat down the *seats, we found that there were a lot of *rival team's fans around us.
＊ seat：席 rival：相手の
〔 〕
問２
次の英文の中から、「過ぎたるはなお及ばざるが如し」ということわざの内容に最も近い意味を表したものを選んで、記号で答えな さい。
ア To do something too much is as good as to do something too little. イ To do something too much is better than to do something too little. ウ To do something too much is as bad as to do something too little. エ To do something too much is worse than to do something too little.
〔 〕
問 3
次のような 4 枚のカードがある。これらは両面にアルファベットと数字が書かれている。そして、次のようなルールが定められてい る。「片面が母音ならば、そのカードの裏は偶数でなければならない」このルールが正しく成立しているかどうかを確かめるには、最低 限、どのカードをひっくり返し、反対側を見て調べる必要があるか、４つのカードに書かれた文字で答えなさい。
〔 〕
問４
A、B、C の 3 人が、「誰が一番強いか」ということで口論になっている。 A「一番強いのは B ではない」
B「一番強いのは C ではない」 C「わたしが一番強い」
一番強い人だけが真実を述べている。それは誰か。ただし、一番強い人はただ一人に決まるものとする。
〔 〕
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練 習 問 題 ２
６ 計算・図形の発展的問題
問１
ハワイ島にある、世界最大の光学望遠鏡（2013 年現在）「すばる」の主鏡は、加工そのものの精度の高さと、アクチュエイターによ る微調整によって、空前の高精度が達成されている。主鏡の直径 8.2m に対し、表面の歪み（でこぼこ）の許容範囲は 12nm（ナノメー トル）である。では、「すばる」の主鏡を関東平野（およそ直径 80km の円にあたる）の大きさに拡大すると、歪みの許容範囲はどのく らいになるかを、1nm を 10 億分の 1m として数値を求め、次の説明文を完成させなさい。なお、空欄［ Ａ ］にふさわしい素材の 名を後の語群から選んで書き、［ Ｂ ］にはふさわしい 1 けたの整数を答えなさい。
■説明文 すばるの主鏡を関東平野だとすると、表面の歪みの許容範囲は［ Ａ ］およそ［ Ｂ ］枚分である。
［ Ａ ］の素材 一円玉（1.5mm)・新聞紙 (0.1mm)・セロハンテープ（0.05mm)・金閣寺の金箔 (0.001mm)
〔Ａ /B 枚分 〕
問２
円周率が３以上であることを証明しなさい（解答は下の空欄に書くこと・考える際に右の図を用いてもよい）。
問３
18 世紀、北東ヨーロッパの都市ケーニヒスベルク（現ロシア・カリーニン グラード）で、次のような問題が話題となっていた。
「右上の図のような、川とその川に架かる a ∼ g の 7 本の橋がある。この 7 つの橋を全部、しかも 1 回だけ通って散歩ができるか。」
スイスの数学者レオンハルト・オイラー (1707 ∼ 1783) は、この問題を、陸 地（A ∼ D）を点に、橋（a ∼ g）を線分として、右下のような図に置き換え て考えた。結果、この問題は「不可能である」ことが証明できた。
この問題は、一筆書き問題とも呼ばれ、下の図について、左側の図 1 は一 筆で書くことが可能である。中央の図 2 は、一筆で書くのは不可能で、右側の 図 3 は、A か B のどちらかからスタートさせたときのみ一筆で書くことがで きる。これは、各点に集まる線分の数に着目すると判断が可能である。
以上を参考にして、a ∼ g の橋のうち、1 本だけを通行止めにして、すべて の橋を回れるようにしたい。点 A を出発点とするとき、どの橋を通行止めに すればよいか答えなさい。ただし、動ける範囲は図にある範囲のみとし、「船 で渡る」などといった方法は使えないものとする。
〔 〕
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練 習 問 題 ２
８ 推理・推論の問題
問１
次の楽譜は、英国国歌の冒頭部分である。将来、この国歌の歌詞は変わる可能性がある。変わるであろう部分をそのまま書き抜き、 どう変わるかも英語で書きなさい。また、この楽譜には 1 箇所、音符の記入ミスがある。それが第何小節目にあるか答えなさい。
〔 が に変わる / 誤り：第 小節〕
問２
「考える」方法に「帰納法」と「演繹法」の二つがある。帰納法とは、複数の事実から、そこに存在するであろう規則や新しい知識 を予想することである。一方の演繹法はその反対で、規則（法則）から事実を導くことである。では、次に示す事例について、それぞ れが「帰納法」「演繹法」のどちらにあてはまることか、すべて答えなさい。また、これらの中には論理的に誤った判断がなされている ものが 1 つある。それを記号で答えなさい。
ア すべての長方形は平行四辺形に含まれる。ゆえに、まだ見たことのない長方形 EFGH は平行四辺形と考えられる。 イ 衆議院議員の被選挙権は 25 才以上で得られる。したがって、衆議院議員の相模次郎氏は 25 才以上であると見てよい。 ウ 松尾芭蕉は、「おくのほそ道」において、実際に見ていない風景を書いていることが研究の結果明らかになった。だから、「お
くのほそ道」の記述はすべてにウソを含んでいると考えてよい。
エ 日本語の文字の数を基本的な仮か な名の数から 50 とすると、理論上作成可能な俳句の種類は 5017と想像できる。ただし、この中 の多くは日本語として意味をなさないものも含まれる。
オ モーツァルト国際ピアノコンクールで本戦出場した日本人ピアニストは、これまで全員５位以内に入賞を果たした。だから、 今年の出場者、武蔵三郎氏も５位以内の入賞が期待できる。
カ 1 と自分自身以外に正の約数を持たない、1 以外の自然数「素数」は、今のところ出現に規則性が見つからないため、無限に 存在すると考えられる。
キ 食物を腐敗させる菌は、適度な高温と湿気を好む。そこで、乾燥させて冷やすことで、菌の活動をおさえ、食品を長く保存で きる可能性が高くなる。
〔帰納法： 演繹法： / 誤り 〕
問３
下のグラフは、同じ中学の同じクラスにおける A 班と B 班の理科のテスト結果を示している。A 班の平均点は 62.0、B 班の平均点 は 64.5 である。50 点以上とった生徒は合格になる。
担任の先生はこのグラフを見て、今回のテストでは、B 班のほうが A 班より良かったと言った。A 班の生徒たちは先生の意見に納 得できなかった。A 班の生徒たちは、B 班のほうが必ずしも良かったとは言えないということを先生に納得させようとしている。
あなたならどのように先生を説得するか。グラフのデータを使い、A 班の生徒が主張できる数学的に意味のある理由を書きなさい。
